向量空间的定义（向量空间）

大家好，我是小典，我来为大家解答以上问题。向量空间的定义，向量空间很多人还不知道，现在让我们一起来看看吧！

1.在V中定义了一种运算，称为加法，即对V中任意两个元素α与β都按某一法则对应于V内惟一确定的一个元素α+β，称为α与β的和。

2.在P与V的元素间定义了一种运算，称为纯量乘法(亦称数量乘法)，即对V中任意元素α和P中任意元素k，都按某一法则对应V内惟一确定的一个元素kα，称为k与α的积。

3.加法与纯量乘法满足以下条件：

1) α+β=β+α，对任意α，β∈V.

2) α+(β+γ)=(α+β)+γ，对任意α，β，γ∈V.

3) 存在一个元素0∈V，对一切α∈V有α+0=α，元素0称为V的零元.

4) 对任一α∈V，都存在β∈V使α+β=0，β称为α的负元素，记为-α.

5) 对P中单位元1，有1α=α(α∈V).

6) 对任意k，l∈P，α∈V有(kl)α=k(lα).

7) 对任意k，l∈P，α∈V有(k+l)α=kα+lα.

8) 对任意k∈P，α，β∈V有k(α+β)=kα+kβ，

则称V为域P上的一个线性空间，或向量空间。

扩展资料：

若 V 和 W 都是域F上的向量空间，可以设定由V到W的线性变换或“线性映射”。这些由V到W的映射都有共同点，就是它们保持总和及标量商数。这个集合包含所有由V到W的线性映射，以 L(V, W) 来描述，也是一个域F上的向量空间。当 V 及 W 被确定后，线性映射可以用矩阵来表达。

同构是一对一的一张线性映射。如果在V 和W之间存在同构，我们称这两个空间为同构；域F上每一n维向量空间都与向量空间F同构。

研究向量空间很自然涉及一些额外结构。额外结构如下：

1、一个实数或复数向量空间加上长度概念。就是范数称为赋范向量空间。

2、一个实数或复数向量空间加上长度和角度的概念，称为内积空间。

3、一个向量空间加上拓扑学符合运算的（加法及标量乘法是连续映射）称为拓扑向量空间。

4、一个向量空间加上双线性算子（定义为向量乘法）是个域代数。

参考资料：搜狗百科-向量空间

本文到此讲解完毕了，希望对大家有帮助。