若函数f(x)=x(若函数f(x))
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1、(1)f′(x)=(x-1)/x 当0<x<1时,f′(x)<0, f(x)为减函数;
2、 当x≥1时,f′(x)>0, f(x)为递增函数,则当x=1时,函数极小值f(1)=1-0=1
3、(2)h(x)=f(x)-g(x)=x-alnx+(1+a)/x,则h′(x)=1-a/x-(1+a)/x^2=(x^2-ax-a-1)/x^2=(x+1)[(x-(1+a)]/x^2
4、 ①当1+a>0时,即a>-1时,在(0,1+a)上,h′(x)<0;在(1+a,)上h′(x)>0
5、 所以h(x)在(0,1+a)上单调递减,在(1+a,+∞)单调递增
6、 ②当1+a≤0,即a≤-1时,在(0,+∞)上h′(x)>0,所以函数h(x)单调递增。
7、(3)在[1,e]上存在x0使得f(x)<g(x)成立,即h(x0)<0,即函数h(x)最小值小于0,
8、 由(2)可知:
9、 ①当1+a>e,即a>e-1时,则h′(x)<0;函数h(x)在[1,e]上单调递减,
10、 h(x)最小值为h(e)=e+(1+a)/e-a<0,得a>(e^2+1)/e-1
11、 ②当1+a≤1,即a≤0时,h′(x)>0,h(x)在[1,e]上单调递增,函数最小值h(1)=1+1+a<0
12、 得a<-2;
13、 ③当1<1+a<e,即0<a<e-1时,最小值为h(1+a),因0<ln(1+e)<1,所以0<aln(1+a)<a,
14、 则h(1+a)=2+a-aln(1+a)>2,而与h(1+a)<0矛盾,不成立
15、 所以,只有①和②可满足题意
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